海天名師姜曉千、王立鵬解析2020考研數學三真題:全題目解讀

2019/12/24 13:30:33 來源: 網絡
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  2020考研數學考試已經結束,希望大家考的都不錯。海天考研僅第一時間整理發布真題原文,還邀請名師為考生們進行真題解析,下面就來看看姜曉千老師,王立鵬老師為考生們帶來2020考研數學三真題的文字版解析。

  海天名師姜曉千、王立鵬解析2020考研數學三真題:全題目解讀

  姜曉千:對對對,學的好的還是學的好的。下面咱們從頭給大家把這個題目都一一的把答案對一下,王老師先來。

  王立鵬:我們先看第1個題,第1個題它說是一個已知極限求極限的題,但是它里邊一個最明顯的特點出現了兩個sin相減的形式,我們大家知道咱們講過這種形式題一定要用拉格朗日中值定理來做,做一下拉格朗日中值定理,利用一下已知條件,這答案就選出來了,應該選擇B。

  姜曉千:第2題是典型的高等數學的第一章的,判定,兩大類四小類,第二類左右極限有一個是無窮,一邊就行,或者有一個是振蕩,首先就想到分母是零的,分母是零的你會感覺到x取0的事,但是這個不能用,為什么呢?因為你發現分子論也可以,那就換掉了,所以說0這個點不行。但是又發現2這個點可以,另外你發現分子上函數沒有定義的點,-1這個點可以,因為log0是無窮。然后0這個點也可以,因為x取1這個點,因為x取1正的事,1-1/1這是個0正,分母是個0正,然后取倒數是個正無窮,1的正無窮個正無窮,都可以,所以最終是3個點,是2,-1和1,答案選C。

  王立鵬:第3個題它考了一個奇偶函數的問題,首先給了小fx是個奇函數,那小fx奇函數,cosfx就應該是偶函數了,而f′x也應該是偶函數,兩個偶函數的和依然是偶函數。而我們去做0—x上的積分,它應該就變成了一個奇函數。但是大家要注意一下什么問題呢?就是下限,如果下限由0換成了其他的數,那就未必是奇函數了,它這個下限必須要是0的。

  姜曉千:對,第4題大家注意什么呢?收斂區間,它指的是x的范圍,第一個奇數是x的范圍,是-2到6,有同學可能搞不清楚,說老師那不是x-2嗎,那是x的范圍,你這個搞清楚了這個題基本就沒有大問題了,那就是x它是大于-2小于6。前方有個x-2,為了框框,框框那就應該是大于-4,小于4,框框就是所謂收斂半徑,說明這個收斂半徑r就等于4,r等于4,那后面那個技術就是框框,后面的框框是不x+1的平方,對不對?x+1的平方小于4,那x的范圍應該是-3到1,答案選B,第二個選項。

  王立鵬:今年你看線性代數從第五題開始它就讓大家做的沒有那么順手了,它給的a是一個四階矩陣,但是它不可逆,首先我們可以看出a的指數應該是小于n的,但是它人我們去求的是a伴隨x等于0的公解,但是我們要去求a伴隨x的質,那a的質小于n,a伴隨的質只能是0或1了,但是它給出了代數于子是a1 2是不等于0的,那么我們就可以斷定a伴隨的質是1。所以在a伴隨l等于0的奇數解析中應該有三個是無關解。而現在我們應該是用到a伴隨a等于0,a伴隨a等于0,a的列項量是a伴隨x等于0的解,但是我們要找三個線性無關的,因為a1 2不等于0,所以α1,α3,α4是線性無關,應該選擇C。

  姜曉千:第6題其實在2015年考過這樣的,相似對角化它的定義或者它的本質,就是P它是不是有這些線性的特征向量組成的,而且和λ的那些特征值是不是對應的,那你就明白P的第一列是特征是1對應的,第二列是特征是-1對應的,第三列是特征是1對應的。那根據考試題再追加一點,相同特征值它的特征向量的線性組合還是這個特征值的向量,那這樣的話你發現只有D是可以的,第四個選項。

  王立鵬:概率題的第7題它就是講一個隨意事件的概率,這個事是比較簡單的,但是它告訴我們求a,b,c恰有一個發生的概率,恰有一個發生,那就是ab拔c拔,ab拔,a拔,b,c拔,還有a拔b拔c,實際上這個題我們用圖形法去解釋,因為我們在咱們沖刺班上的時候給大家講過,把圖形畫出來,根據圖形上的表示事件去描述概率就OK了。但是注意一點就夠了,他說ab的概率等于0,那abc的概率也應該是0,用這個事件把它表述出來,所以答案應該選擇的是5/12。

  姜曉千:第8道選擇題考的是二維正太它的最基本的性質,因為它求的是x+y和x-y它的相關的期望和方差,因為它服從標準正太分布,求它的期望和方差。那么咱們知道二維正太分布它的線性組合是不仍然是正太分布?那么咱們當時給大家推廣成最廣義的版本就是ax+by線性組合,甚至咱們講的線性函數,ax+by+c,這些都得掌握。期望最終都是個0,因為0不管怎么算還是0,主要是方差,方差能記得嗎?是不應該是a方δ1方,加上b方δ2方,再加上兩倍的abcv,但是cv又等于ρ乘δ1δ2,所以說最終其實就是2ab,然后ρδ1δ2,最終你發現只有C選項x+y,x+y它的方差是3,然后比較以后標準化,最終是比上根3,比上個根3,這樣的話答案只能選C。

  王立鵬:今年的填空題總的來說它應該是比較簡單的一些。

  姜曉千:對,這比較傳統。

  王立鵬:填空題都是比較傳統的一些題,第9題它就求了一個二元函數的全微分,二元函數的全微分我們就求出pnz,pnx,dx和pnz,pny,dy,也就是說讓大家求兩個偏導數,這個題唯一一點可以給大家提示的時候就是說它在0π這點的偏導數,就是對x取偏導數的時候我可以把y先代進去,而對y取偏導數的時候我可以先把x代進去,計算的時候會簡單一點。

  姜曉千:對,這就是咱們所謂的求偏導數值,先代后導,最終這個答案是

  王立鵬:答案是π-1dx-dy。

  姜曉千:對。第10題是咱們導數應用研究切線法線,還有一個隱函數求導的問題,隱函數別說求導了,高階導咱們都做了,所以這個題目真的就是傳統的題了,基礎版水平的。這個導數求完以后你發現y′在0這個點的值是個1,所以說最終切線方程是y=x-1,這4分就拿下了。

  王立鵬:第11題它是咱們數算同學專有的經濟數學,我記得從去年開始就給大家說,我說經濟數學必考,今年它果然還考,還是4分的一個小題。但這題求的最大利潤,但是利潤應該等于銷售減去成本,然后求導數,導數等于0的點,就是取得最大利潤點,但這道題的最大特點就是計算起來計算量有點大,最后答案應該是等于8。

  姜曉千:12題是典型的咱們第三章定積分的應用,旋轉體的體積,旋轉體的體積非常傳統的做法是y軸,那就是2πy,因為是兩條曲線,所以應該是上面的減去下面的。然后咱們說過,你想要研究定積分,研究這個體積的問題或者面積的問題,如果是個單調函數,是不可以轉化為反函數?也就是說x是不可以轉化成xy的,x對y的,那是不應該是所謂的π,所謂的f的平方,就是x對y那個函數的平方,然后對y積分就可以了,可以對x積分,可以對y積分,這兩大方法都很好,最終答案是πb的,括號里邊ι2減1/3,OK了。

  王立鵬:13題今年對線性代數來說是最簡單的一個題,就是一個求四階段行列式,這個事就是做一個行展開,然后做點行變換,這樣就能算出結果來了,結果是a的4次方減4a平方。

  姜曉千:可以展開,可以用性質稍微一變換,反正4基了,因為它原數0比較多。14題是咱們典型的一維離散型隨機變量,求它的期望。那你把y的取值和概率都算算,待會兒乘下來。它表示x被整除,那就只能余項的,那被3整除剩下只能是0,1,2,把0的,1的,2的,最終代上是個等比數列,把它算算,算完以后最終0的概率是1/7,1的概率是4/7,2的概率它是個2/7,最終期望的話再乘起來,1乘上4/7,2乘2/7,最終是4/7,4/10,8/7。這是怎么的填空題,整體來說今年的卷子最簡單的就是填空題,填空題應該學的稍微扎實點,應該是不能丟分的。

  王立鵬:應該拿滿分的,填空題。

  姜曉千:對。

  王立鵬:15題也是一個基礎題,就是我們講的等價無窮小,1+1/n的n次幕減1,然后是與這個a/n,n的a次幕分之b是等價無窮小,想主要去處理一下前面這個式子,這是我們幕式函數,對幕式函數進行了一個恒等變形,然后這是等價無窮小,就可以寫出這個結果來了。

  姜曉千:對,另外恒等變形以后,因為指數1減指數2,也可以處理。

  王立鵬:也可以,沒問題。

  姜曉千:16題是咱們第五章多元微分學的一個無條件的兩大步,第一大步是不就是思維的觸點?偏導數等于0的點,那么你先把這些點都找到,因為高次它會有好幾個。緊接著第二大步-b方你去判定,它得大于0,然后再去看a怎么樣,就這樣就行了。

  王立鵬:17題,它首先給我們是一個二階線性長系數方程,并且給了兩個初始條件,讓我們先求它的通解,然后用初始條件再去求它的特點,這是第一問,是非常規律的問,大家都應該做得對,這個問題應該很簡單的。第二問,它說了求出這個fx表達數之后,它讓我們去做了一個積分,當這個fx我們求出來應該是e-xcos2x,它的積分就是從nπ到正無窮,就是e-xcos2x積分,做一次分布積分,我們就可以寫出這個結果來了。

  姜曉千:對。

  王立鵬:這道題它這個里面做分布積分的時候,我們可以算出an來,an它應該是e的-nπ,這個e的-nπ然后再去做無窮等比數列求和,然后就可以求出這個結果來了。實際上這個題目和咱們2019年的一個題是相類似的,2020年的題它是e-xcos2x,2019年的題是e-xsinx,區別基本上不大,是吧?

  姜曉千:對。

  王立鵬:跟去年的題基本上相類似的。

  姜曉千:就是把sinx換成cos2x。

  王立鵬:就這點區別。

  姜曉千:對,整體來說整個過程中,到了最后這個符號,這個數稍微變了變,所以說這個題做完以后,大家真的就感受到這個真題的價值,咱們說過,除了咱們筆記講完的,最有價值的就是真題,其他的不管給你吹什么,跟你扯什么,最終最最有價值的肯定是真題,今年有兩道題,17題這是典型的就是參考真題又改編了一道,非常典型,待會兒還有一道線性代數的,20題,待會兒咱們再說,咱先看一下18題。18題咱們第六項二次微積分的一個題,這類題考的很少,但是咱們練的很多,二重積分積完應該是個常數,他不知道,所以說等式兩端同時在做二重積分,你把這個二重積分做出來,做出來以后選f是不就知道了?那它再壞了一點點,它求的是x乘上小f,那么你既然f知道了,那再乘上x再積分,對不對?另外這個題有一點小的亮點,打引號的亮點,咱們處理起來沒有什么問題,這個題是傳統的題。二重積分是個常數,咱先不管了,前面有個x,那積分區域是個上半圓,所以關于x而言它是個奇函數,所以這塊不要急,0。所以說二重積分,五大積分法,這個t5項你馬上用上,其他不有啰嗦了,只要0就ok,兩大步就行了。

  王立鵬:19題在今年考試中還是有一定難度的,高數里面還是會出現一個難題的,但是咱們今年已經說了,今年很有可能考慮到。因為咱們說總2013年到2018年它就沒出,2019年它突然間出了,咱們就斷定了它2020年、2021年,可能明年還會有這樣的題。

  姜曉千:碰到哪一年份,是不是?

  王立鵬:這個題會有一定的連續性,但是咱們說了這種題拿起來之后當然首先就是無外乎你要去想羅爾定理和拉格朗日中值定理,其他的事都不用去多想。這道題的難點在哪里呢?你把這個他說在0—2上取一個最大值fx是M,那我就可以把這個點設出來這是這道題最關鍵的地方。然后你可以說這個0,然后我設計這個點是c,c在0—2之間。然后我就在0—c上和c—2上做兩次拉式定理,然后把兩個式子做加做減,然后你相對一運算就能產生,再適當的放松,就可以產生第一問的結果。第二問,相當于在第一問的基礎上你做一個反證法,就把結果寫出來了,這種題就這么來做。

  姜曉千:其實第一問做好了,第二問就水到渠成了。下面就談到咱剛才的話題了,這個真題的價值,17題就是把2019年的題,把sin換成cos2x,其他一致的。20題又是類子的,20題2019年的線性代數的第二道大題,是不是相似對角化?a相似對角化λ,b相似對角化λ,然后一傳遞找到那個p。那這個題我跟大家說,如果2019年你做好了,這個題有希望,只是有希望,這個題算是今年比較難的,包括后面21題,待會兒王老師給大家再詳細講一下21題。這兩道題應該是今年卷子算是最終的應該是綜合度最高的,得分率最低的兩道題。但是也不用太擔心,做不出來都做不出來,最終還是看你真實水平的,真的是。20題很經典,它是正交相似對角化,正交矩陣肯定是可逆矩陣,它是不也能傳遞,對不對?所以這個你也就差那么一點點火候,正交矩陣它也滿足這個傳遞的,這沒有問題。那么第一問我覺得大家可以的,那就是a把它轉化成b,它說能轉化過去,也就正交相似對角化肯定是相似對角化的問題,這負責問題,所以說有相同的特征值。你也不用忙著特征方程開始做,那你這樣的話太慢了,那你根據特征值性質,a的特征值的和,也就是主對角線元素的和,是不應該等于b的?是不得到一個式子?對不對?那么a的特征值的乘積,也就是所謂的行列式是不應該等于b的行列式?是不又得到一個式子?那小a小b不就搞定了嗎?所以第一問你得快速的拿下。小a小b一旦搞定了,那么b這個矩陣后面那個二次型的矩陣那就非常具體的寫給咱們了,寫給咱們以后你就想他們,那么q1的aq等于λ,q怎么求?非常經典三大步,是不先求特征值?再求特征向量,最后還有或者是不有個向量級,你可以做個差乘。

  王立鵬:它是二階的。

  姜曉千:對,二階的只要不同的話肯定正交,只要單位化就可以了,所以這個a的就能搞定,b的也能搞定,那這樣的話它就能傳遞一下,q1的轉制aq1,等于λ,它等于q2的轉制bq2,所以說這個等式兩端所乘q2的轉制,正交矩陣的轉制也是正交矩陣,正交矩陣的逆也是正交矩陣,正交矩陣的乘積還是正交矩陣,根據定義這些都能證出來,所以說放心的用。一用的話最終你就可以發現q1、q2的轉制,括號外邊再轉制,乘上a,然后括號后面q1、q的轉制等于b。那么所謂的那個q就是q1乘q2的轉制,就是把每個都求好以后乘到一起,那就是所謂的q,這11分就拿下了,所以說就比2019年的題多了一個正交給的問題,正交相似對角化,一傳遞就過去了。

  王立鵬:實際上這個題咱們多說一句,姜老師,我覺得它這個思想正交嗎,它本身就是一個什么?只需要一個單位化,就比咱們2019年的題目上就多一個單位化的過程,但是相對計算來說要比2019年的要小。

  姜曉千:因為是二階的。

  王立鵬:2019年三階的,三階的時候你要算起來計算量往往要比今年的還要大一點。

  姜曉千:對,所以說這個題王老師說的很有道理,多了一個正交,也就是最終其實是多了一個單位化的問題,但是它就簡化了,從三階變成二階的。

  王立鵬:而且這個是求轉制,那邊的是求逆,求逆的話比這事還要復雜,實際上咱們去年的題要比今年的計算量要大一點。

  姜曉千:對對對,這個題的計算量應該不會高于2019年的題。

  王立鵬:比它要小一些。

  姜曉千:對。

  王立鵬:這份卷子上我覺得21題也是一個難度比較大的一個題。

  姜曉千:對,應該是最難的一道題了。

  王立鵬:很多同學反應不出來這個題,實際上這個題第一問,它說了,a是個二階級的,p是ar,它讓我們證明p可逆,我覺得這個還是比較簡單的,p可逆也是說我們只要證明α和aα線性無關就可以了。線性無關我們用反證法的思想,設它線性相關,線性相關的話不就是兩個向量線性相關,對應分量成比例,aα等于λα,那么α就矛盾了,所以第一問就結束了。

  姜曉千:插一句,其實這就是相關無關的定義,對不對?

  王立鵬:對,用定義寫也可以。第二問,大家一定要注意,我們說當你想不出來的時候你要看什么?你要看第一問,這道題最難的點,很多同學說我沒有反應,你沒有反應是正常的,但是人家為什么給你第一問?人家是為了讓你去做第二問。所以我們要借助第一問的結論去把第二問做出來。它主要用的是誰?這個P矩陣,αaα,我們在它上做,乘上a,那就變成aαa方α,那a方α恰好它給了是-aα加6α,然后把舉證乘法一寫是αaα乘以0,1,6,-6,那這個矩陣寫出來,我給它起個名叫b,就是我們要求的第二問的結論。而這個b寫出來了,ab是相似的,相似矩陣,那你可以求出b的特征值來。求出b的特征值,之后我就可以b能相似轉化,所以a可以相似轉化,這個題思想就在這兒。而這個題我記得在咱們考研的歷史上,大概是2000年。

  姜曉千:2008年左右有個類似的。

  王立鵬:有個類似的,它有一個是a立方法等于-aα加2倍a方α,有這個題,實際上這個題和這個題很像,它降了一級,當年是給的是三階的,你發現今年的題挺有意思的,難度挺大,但是計算量挺小。

  姜曉千:20題和21題計算量確實不會比之前的高,但是這個綜合度比較高,比較新穎。

  王立鵬:想不好想,只要能想出來,今年的題就做出來了。

  姜曉千:22題這是典型的二維離散型隨機變量,那就去求它的聯合概率分布,求它們的取值和概率,求它的取值,尤其是求對應概率的事,那對應的不就是這個均勻分布,均勻分布你可以二重積分,其實均勻分布就是個面積,比一比就可以了,因為它是均勻的,那么聯合概率分布就容易求出來了,一旦容易求出來以后,再求它的相關系數,那先求cav,cav就是乘機的期望減期望的乘機,一系列公式往里代就行了,二維離散的這個整體來說難度它不是大的,這個概率統計的題不難。

  王立鵬:不難。

  姜曉千:包括下面23題也很傳統。

  王立鵬:今年的23題它這個題給了一個隨機變量的分布函數,然后讓我們求兩個概率。一個是p>t的概率,那我們用它的對立事件來求,p>t,那就是1-p,T小于等于t,一把分布函代進去,這個結果就寫出來了。第二問,它求了一個t大于ts,在t>s的條件下,求這個條件概率,這個條件概率無外乎我們用公式去寫。但是這個題大家注意一點,你別用它這個,我們在講指數分布的時候有一個無記憶性,而這個題它是不能用無記憶性來做的,你就按照條件概率去做就完全可以了。

  姜曉千:對。

  王立鵬:第二問它是求一個最大似然估計,那大家做起來很簡單,因為我們說了,咱們給大家押題的話,都會說最后一個題,最大似然估計去估計,給你分布函數求密度,然后求自然函數,然后求取對數,求導數等于0,然后求出最大似然估計來,第二問是跟規矩的一個題。

  姜曉千:對,這個我得追加一句,第一問,整體來說王老師剛才提到了條件概率公式,你把它展開就行,你分子分母,你不管概率密度積分,還是求逆以后用分布函數都可以做,唯獨的就是別用無記憶性。為什么呢?因為m如果是個1的話,這是不是典型的指數分布,對不對?m不是個1的話,你要嚴謹點,這不是指數分布,不是指數分布的話你得推,你推完以后你會發現它沒有無記憶性,所以這個題就這一點比較擔心,不要盲目的用,一定要嚴謹。

  王立鵬:膽子別太大。

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